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HARMONISCHE ANALYSIS & CORONASÄTZE

Vorlesung im Sommersemester 2022

Herzlich willkommen zur Vorlesung "Harmonische Analysis" an der Universität Konstanz!

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Die Vorlesung richtet sich an Studierende des Masterstudiengangs Mathematik mit Interesse an Analysis, und findet wöchentlich

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  • dienstags von 13:30 - 15:00 Uhr in F 426, sowie

  • donnerstags von 11:45 - 13:15 Uhr in F26 statt.

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Es wird ebenfalls Übungen zur Vorlesungen (siehe unten) geben, deren Termin zum 19.04. in der Vorlesung fixiert wird.

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Die Vorlesung kann als 3ECTS-Veranstaltung gehört werden, in welchem Fall für die Modulprüfung nur das Material bis zum 30. Mai 2022 relevant ist.

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Inhalt der Vorlesung: In dieser Vorlesung stellen wir einige Konzepte der Analysis des 20. Jahrhunderts vor, die nun für fast alle modernen Teilgebiete der Analysis eine tragende Rolle spielen, und diskutieren deren Anwendungen im Hinblick auf partielle Differentialgleichungen. Stichpunkte zum Inhalt sind wie folgt:

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  • Hardy-Littlewoodscher Maximaloperator,

  • fraktionale Integraloperatoren / Potentialoperatoren,

  • singuläre Integrale und Pseudodifferentialoperatoren,

  • Besov und Triebel-Lizorkinräume,

  • (reelle) Hardy- und BMO-Räume,

  • (komplexe) Hardyräume und Coronasätze.

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Vorkenntnisse: Analysis 1-3, Funktionentheorie, Funktionalanalysis 1 und PDG 1; der Kurs 'Fourierana- lysis' ist hilfreich, aber nicht notwendig. Für die entsprechenden Hintegrundresultate ist auf mein Skript

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aus dem Wintersemester 2021/22 verwiesen. Bei Bedarf können wir gerne in den Übungen entsprechende Hintergrundresultate wiederholen.

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Die Übungsblätter zur Vorlesung werden an dieser Stelle jeden Montag um 09:55 Uhr veröffentlicht, und können bis zum darauffolgenden Montag bis 10 Uhr abgegeben werden (entweder elektronisch via E-Mail an mich oder via Abgabe am Übungsumschlag vor meinem Büro F 526). Für die Übungsblätter gibt es ein Bonuspunktesystem, das in der Vorlesung besprochen wurde.

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  1. Blatt, downloadbar hier, mit Lösungen hier.

  2. Blatt, downloadbar hier, mit Lösungen hier.

  3. Blatt, downloadbar hier, mit Lösungen hier.

  4. Blatt, downloadbar hier, mit Lösungen hier. 

  5. Blatt, downloadbar hier, mit Lösungen hier. 

  6. Blatt, downloadbar hier, mit Lösungen hier.

  7. Blatt, downloadbar hier.

  8. Blatt, downloadbar hier.

  9. Blatt, downloadbar hier.

  10. Blatt, downloadbar hier.

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Die Übungen zur Vorlesung finden Montags, von 10:00-11:45 statt. Die erste Übung findet am Montag, den 25.04. statt; Treffpunkt ist vor F 426.

  • Apr 12/22: Zusammenfassung und Organisatorisches. Hardy-Littlewoodsche Maximalfunktion, Überdeckungslemma von Vitali, schwache (1,1)-Eigenschaft des HL-Maximaloperators. Im Buch: Def. 5.6, Thm. 5.7(a) & (b).

  • Apr 14/22: Überdeckungslemma von Vitali (Beweis), Beschränktheit des HL-Maximaloperators auf Lp-Räumen mit $1<p\leq \infty$. Rieszpotentialoperatoren, fraktionaler Integrationssatz ohne Beweis, Anwendungen auf die Potentialtheorie der Poissongleichung. Im Buch: Thm. 5.7(c), Def. 5.10., Thm. 5.11.

  • Apr 19/22: Skalierung im FIT, Beweis des FIT, Lebesguepunkte und Lebesguescher Differentiationssatz. Beweis des Lebesgueschen Differentiationssatzes für schwache Lebesguepunkte. Im Buch: Kapitel 5.2.3, Thm. 5.1 und Def. 5.2.

  • Apr 21/22: Beweis des Lebesgueschen Differentiationssatzes für Lebesguepunkte, Diskussion der Bedingung s>0 im FIT, Interpolationssatz von Marcinkiewicz.

  • Apr 26/22: Fouriermultiplikationsoperatoren. Calderón-Zygmund-Zerlegung, Satz von Calderón-Zyg-mund. Beweis der schwachen-(1,1)-Eigenschaft von CZ-FMOs begonnen.

  • Apr 28/22: Beweis der schwachen-(1,1)-Eigenschaft von CZ-FMOs, Beweis des CZ-Theorems (via Marcinkiewicz für 1<p<2 und Dualität für 2<p<\infty. Hinreichende Bedingung für das Hörmander-Kriterium (CZ2).  Distributionen, Beispiele.

  • Mai 03/22: Ordnung von Distributionen, Operationen auf Distributionen, Diskussion der lokalkonvexen Topologie auf D'.

  • Mai 05/22: Vorlesung entfällt wegen Blockseminar.

  • Mai 10/22: Lokalkonvexe Topologie auf D'. Homogene Distributionen und Darstellung der Rieszpoten-tiale via Fouriertechniken. Fouriermultiplikatoroperatoren mit Symbolen homogen vom Grad 0.

  • Mai 12/22: Rieszpotentiale via Fouriertechniken. Distributionen mit Träger in einem Punkt. Anfang des Beweises über die SI-Darstellungen bestimmer FMOs.

  • Mai 17/22: Hauptsatz über singuläre Integrale und FMOs mit homogenen Kernen. Intro in gewichtete Theorie. Gewichtete Lebesgueräume, Muckenhouptgewichte. Für eine exzellente Darstellung siehe hier die Vorlesungsnotizen von J. Duoandikoetxea, an denen sich die Vorlesung orientiert. 

  • Mai 19/22: Diskussion von Anwendungen gewichteter Theorie auf PDEs. Revision über Muckenhoupt- gewichte. Maximaloperator auf gewichteten Lebesgueräumen.

  • Mai 24/22: Maximaloperator auf gewichteten Lebesgueräumen. Lemmas von Kolmogorov, Konstruktion von A1-Gewichten nach Coifman-Rochberg und Rubio de Francia.

  • Mai 26/22: Vorlesung entfällt wegen Feiertag.

  • Mai 31/22: Faktorisierung von Muckenhouptgewichten, Extrapolation.

  • Jun 02/22: Anwendung des Extrapolationssatzes auf PDEs und Variationsprobleme.

  • Jun 07/22: Atomorarer Hardyraum H1 und Funktionen beschränkter mittlerer Oszillation.

  • Jun 09/22: Singuläre Integrale vom Calderón-Zygmund-Typ auf H1 und BMO. Scharfe Maximaloperato-ren und Räume, die über (scharfe) Maximaloperatoren definiert sind (Morrey- und Campanatoräume).

  • Jun 21/22: Einbettungen für Morrey- und Campanatoräume.

  • Jun 23/22: Vorlesung entfällt wegen Krankheit.

  • Jun 28/22: Wiederholung der Campanatoeinbettungen. Fefferman-Stein- Dualität; Diskussion der dualen Paarung zwischen H1 (atomar) und BMO.

  • Jun 30/22: Beweis der Fefferman-Stein-Dualität fertig. Diskussion von Poissonfortsetzungen, Poisson-Typ-Maximalfunktionen und klassische Definition der Hp-Räume für $0<p<\infty$.

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